** Courbe de Lorenz et indice de Gini

On appelle courbe de Lorenz la courbe représentative d'une fonction \(f\) satisfaisant les conditions suivantes :

• \(f\) est continue sur \([0~;~1]\) ;
• \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\) ;
• \(\forall x\in[0~;~1],\,0\leqslant f(x)\leqslant x\).
  

On utilise les courbes de Lorenz en SES pour illustrer les inégalités de revenus ou de patrimoine.

Courbe de Lorenz des revenus et du patrimoine en France (2018)

Lecture : \(80\) % des ménages (en abscisses) possèdent \(35\) % du patrimoine brut total (en ordonnées).

On appelle indice, ou coefficient, de Gini le nombre \(\mathcal{G}\) défini de la façon suivante : \(\mathcal{G}={\displaystyle 1-2\int_{0}^{1}f(x)\ \mbox{d}x}\).
\(\mathcal{G}\) est un nombre compris entre \(0\) et \(1\).
\(0\) représente l'égalité parfaite (le patrimoine total est équiréparti entre les ménages) et \(1\) l'inégalité parfaite (un seul ménage détient l'ensemble du patrimoine total).
À titre d'exemple, l'indice de Gini est d'environ \(0{,}21\) en Slovaquie, \(0{,}30\) en France, \(0{,}38\) en Bulgarie.

Source : https://ec.europa.eu/eurostat/databrowser/view/tessi190/default/table?lang=fr

On considère que la répartition du patrimoine dans un pays donné peut être modélisée par la fonction \(f\) définie sur \([0~;~1]\) par \(f(x)=\dfrac{x^{3}+x}{2}\).

1. Vérifier que la courbe représentative de \(f\) est une courbe de Lorenz.

2. Calculer l'indice de Gini de ce pays.